segunda-feira, 25 de junho de 2007

OBJETIVO DO CURSO

Dar conhecimento essencial do cálculo proposicional e de predicados de 1ª ordem aos estudantes de licenciatura em matemática.

Descrição do Programa:

Breve digressão histórica.
Cálculo proposicional.
Fórmulas tautológicas, contra-válidas e indeterminadas.
Redução do número de conectivos.
Problema de Post. (opcional)
Álgebra dos interruptores. (opcional)
Argumentos válidos.
Teorema da dedução.
Axiomatização do cálculo proposicional. (opcional)
Cálculo de predicados.
Quantificadores. Fórmulas.
Argumentos.
Axiomatização do cálculo de predicados de 1 ordem. (opcional)
Noção sobre teorias formalizadas. (opcional)

quinta-feira, 14 de junho de 2007

INTRODUÇÃO - LÓGICA FORMAL

1. Lógica Formal.

Embora existam muitas definições para o campo de estudo da lógica, essas definições não diferem essencialmente umas das outras; há um certo consenso entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.

Embora tenham sido encontrados na Índia, textos sobre esse assunto, escritos em épocas remotas, é tradicionalmente aceito que a Lógica tenha nascido na Grécia Antiga, por volta do século IV antes de Cristo. Os primeiros trabalhos sobre Lógica são devidos a Parmênides, Zenão, e ao grupo conhecido como “sofistas”, mas o verdadeiro criador da Lógica é, sem dúvida, Aristóteles, pois foi ele quem sistematizou e organizou esse conhecimento, elevando-o à categoria de ciência. Em sua obra chamada Organum(que, em tradução livre, significa “ferramenta”) Aristóteles estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que dominou o pensamento ocidental durante dois mil anos, e até hoje são considerados válidos.

Aristóteles tinha como objetivo a busca da verdade, e, para isso, procurava caracterizar os instrumentos de que se servia a razão, nessa busca. Em outras palavras, Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. Caberia, pois, à Lógica, a formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades.

Essa forma de encadeamento é chamado, em Lógica, de argumento, enquanto as afirmações envolvidas são chamadas proposições; um argumento é, pois, um conjunto de proposições tal que se afirme que uma delas é derivada das demais; usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão, e as demais, premissas. Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão.

Eis um exemplo de argumento:

Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu ganhei na Loteria
Logo, sou rico

Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas premissas, esse argumento é considerado válido.

É preciso deixar claro que a Lógica se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a forma do raciocínio, e não com seu conteúdo, isto é, com as proposições tomadas individualmente. Em outras palavras, não é objeto da Lógica saber se quem ganha na Loteria fica rico ou não, ou se eu ganhei ou não na Loteria. O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é ou não uma conseqüência lógica das premissas. Por esse motivo, por que o objeto da Lógica é a forma pela qual o raciocínio está estruturado, a Lógica costuma receber o nome de Lógica Formal.

A validade do argumento está diretamente ligada à forma pela qual ele se apresenta, como pode ser mostrado pelo enunciado abaixo,

Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico

que, embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, e, portanto, não é um argumento válido.